С какой скоростью должна двигаться собака (в возможных для неё пределах), чтобы не слышать звона сковородки, привязанной к ее хвосту?

Короткий ответ: никак — собака не сможет «сдвинуть» частоту звона сковородки путём бега, потому что сковородка привязана к её хвосту и вместе с ней движется; чтобы перестать слышать звон, надо либо заглушить его (шумом), либо прекратить отдавать звук.

Почему так: звук — это механические волны в воздухе. Если источник звука (сковородка) и наблюдатель (ухо собаки) связаны вместе и движутся одинаково, их взаимная скорость равна нулю, то есть число волн, «накапливаемых» между ними, не меняется. Иными словами, никакого доплеровского «сдвига» тона в восприятии собаки из-за её собственного движения не происходит — она будет слышать тот же частотный набор, который генерирует сковородка в её собственной системе отсчёта.

(Интуитивно: доплеровский эффект меняет частоту для наблюдателя, когда источник и наблюдатель движутся относительно друг друга или относительно среды. В нашем случае источник и ухо движутся вместе, поэтому относительного движения нет.)

Единственные реалистичные способы, при которых собака перестанет замечать звон при беге:

1. Маскировка звука потоковым шумом ветра (аэродинамическим шумом) — при большой скорости воздушный шум вокруг головы/ушей может заглушить звон.

2. Снижение громкости сковородки или её демпфирование (прикрыть, обвязать, снять и т.д.).

3. Создание механической развязки (совсем короткая цепочка, амортизация) — уменьшится передача удара и громкость.

Небольшая оценка по маскировке (приблизительно): типичный звонящая металлическая сковородка вблизи может давать десятки-и-десятки децибел (скажем, порядка 60–90 дБ в зависимости от силы удара и расстояния). Аэродинамический шум, создаваемый обтеканием головы/ушей, становится заметным и громким только при довольно больших скоростях — десятки метров в секунду. Даже самые быстрые собаки (гончаки, грейхаунды) достигают порядка 12–18 м/с (≈43–65 км/ч) на коротких дистанциях; людские велосипедисты/мотоциклисты на 20–30 м/с (72–108 км/ч) уже испытывают сильный ветер и соответствующий шум. То есть, чтобы надёжно заглушить звон только потоком воздуха, собаке понадобилось бы бежать практически со скоростью, недоступной для большинства пород и опасной с точки зрения устойчивости и здоровья. На практике это значит, что маскировка бегом малореалистична.

Вывод: изменить частоту звона (чтобы «перестать слышать» из-за доплера) нельзя — источник с ухом связаны. Заглушить звон бегом можно теоретически только при очень больших и обычно недостижимых скоростях из-за аэродинамики; практически-доступные способы — физически уменьшить громкость/отсоединить сковородку или создать шумовой фон/изоляцию.