2sin²x = cos 2x

Уравнение $2\sin^2(x) = \cos(2x)$ можно решить с использованием тригонометрических идентичностей.

Во-первых, вспомним, что существует стандартная тригонометрическая формула для косинуса удвоенного угла:

Теперь подставим это выражение для $\cos(2x)$ в исходное уравнение:

Теперь перенесём все слагаемые, содержащие $\sin^2(x)$, на одну сторону:

Упростим:

Теперь разделим обе части на 4:

Из этого получаем:

Следовательно, $x$ может быть равен значениям, при которых синус равен $\frac{1}{2}$ или $-\frac{1}{2}$. Это происходит при следующих углах:

1. $\sin(x) = \frac{1}{2}$ при $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ или $x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

2. $\sin(x) = -\frac{1}{2}$ при $x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$ или $x = \pi - \left( -\frac{\pi}{6} \right) + 2k\pi = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

Таким образом, общее решение уравнения $2\sin^2(x) = \cos(2x)$ будет:

где $k$ — целое число.