2sin^x-cosx-1=0 [3pi;4pi]

Для решения уравнения $2 \sin^2 x - \cos x - 1 = 0$ на интервале $[3\pi; 4\pi]$, следуем следующим шагам:

1. Запишем исходное уравнение:

   $$2 \sin^2 x - \cos x - 1 = 0$$

2. Попробуем выразить все через одну тригонометрическую функцию. Мы знаем, что $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$. Подставим это в уравнение:

   $$2(1 - \cos^2 x) - \cos x - 1 = 0$$

   Упростим выражение:

   $$2 - 2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$$

   Получим:

   $$-2 \cos^2 x - \cos x + 1 = 0$$

3. Решаем полученное квадратное уравнение относительно $\cos x$. Умножим обе части уравнения на $-1$:

   $$2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0$$

4. Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Уравнение имеет вид $a \cos^2 x + b \cos x + c = 0$, где $a = 2$, $b = 1$, и $c = -1$.

   Дискриминант:

   $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$

5. Находим корни уравнения с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

   $$\cos x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставляем значения:

   $$\cos x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4}$$

   Таким образом, получаем два корня:

   $$\cos x = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$\cos x = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$

6. Находим значения $x$. Для $\cos x = \frac{1}{2}$ и $\cos x = -1$ на интервале $[3\pi; 4\pi]$:

   • Для $\cos x = \frac{1}{2}$, решение: $x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$, но нам нужны такие значения $x$, которые лежат в интервале $[3\pi; 4\pi]$. Поэтому $x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi = \frac{11\pi}{3}$ подходит.

   • Для $\cos x = -1$, решение: $x = \pi + 2k\pi$, где $k$ — целое число. Для интервала $[3\pi; 4\pi]$, значение $x = 3\pi$ подходит.

7. Ответ:

   Решения уравнения на интервале $[3\pi; 4\pi]$ — это $x = 3\pi$ и $x = \frac{11\pi}{3}$.