№2Решить неравенства: а) ℓog3(3x-1) < ℓog 3(2x+3) б) ℓog ½ (x2+4) ≤ ℓog ½ (2x+7)

а) $\log_{3}(3x-1) < \log_{3}(2x+3)$.

1. Область определения: $3x-1>0 \Rightarrow x>\tfrac{1}{3}$; $2x+3>0 \Rightarrow x>-\tfrac{3}{2}$. Совместно: $x>\tfrac{1}{3}$.

2. Так как основание $3>1$, логарифмическая функция возрастает, значит неравенство эквивалентно

3. С учётом области определения получаем

б) $\log_{1/2}(x^{2}+4)\le \log_{1/2}(2x+7)$.

1. Область определения: $x^{2}+4>0$ — верно для всех $x$; $2x+7>0 \Rightarrow x>-\tfrac{7}{2}$.

2. Основание $\tfrac{1}{2}\in(0,1)$, функция убывает, поэтому знак меняется:

3. Пересекаем с областью $x>-\tfrac{7}{2}$: получаем

Ответ:

• а) $x\in\left(\tfrac{1}{3},\,4\right)$.

• б) $x\in\left(-\tfrac{7}{2},-1\right]\cup[3,\infty)$.