F(x) = x^2 - 4x. Найти критические точки и экстремумы (минимум и максимум).

Рассмотрим $F(x)=x^2-4x$.

1. Производная:

Критические точки — где $F'(x)=0$ или производная не существует. Производная существует при всех $x$, поэтому решаем $2x-4=0\Rightarrow x=2$. Единственная критическая точка: $x=2$.

2. Классификация экстремума: можно либо через вторую производную, либо заметив, что это парабола, ветви вверх.

• Вторая производная: $F''(x)=2>0$ при всех $x$. Значит в точке $x=2$ — локальный минимум.

• Значение функции в минимуме:

3. Про максимум: так как парабола направлена вверх, при $|x|\to\infty$ $F(x)\to +\infty$. Следовательно, на всей $\mathbb{R}$ глобального максимума нет.

Итог:

• Критическая точка: $x=2$.

• Минимум: в $x=2$, минимальное значение $F_{\min}=-4$.

• Максимум: не существует (функция неограниченно возрастает вверх).