log1/6(x^2-3x+2)>=-1

Для решения неравенства $\log_{\frac{1}{6}}(x^2 - 3x + 2) \geq -1$, давайте разберемся шаг за шагом.

1. Рассмотрим логарифм с основанием $\frac{1}{6}$:
   Логарифм с основанием $\frac{1}{6}$ — это логарифм, для которого основание меньше 1. Это важно, потому что при таком основании логарифм будет убывать, а не возрастать, как при основании больше 1.

2. Перепишем неравенство в экспоненциальной форме:
   Логарифм $\log_{\frac{1}{6}}(y) = z$ можно преобразовать в экспоненциальную форму:
   $y = \left(\frac{1}{6}\right)^z$.
   В нашем случае, мы имеем $\log_{\frac{1}{6}}(x^2 - 3x + 2) \geq -1$, то есть:
   $x^2 - 3x + 2 \leq \left( \frac{1}{6} \right)^{-1} = 6.$

3. Решим квадратное неравенство:
   Теперь у нас есть неравенство:
   $x^2 - 3x + 2 \leq 6.$
   Переносим 6 на левую сторону:
   $x^2 - 3x + 2 - 6 \leq 0,$
   $x^2 - 3x - 4 \leq 0.$

4. Решим квадратное уравнение:
   Для нахождения корней уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$, используем формулу для решения квадратного уравнения:

   $$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}.$$

   Получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1.$$

5. Построим промежутки и определим знак выражения:
   У нас есть неравенство $x^2 - 3x - 4 \leq 0$, и корни $x = -1$ и $x = 4$. Это делит числовую ось на три промежутка:

   • $(-\infty, -1)$,

   • $(-1, 4)$,

   • $(4, +\infty)$.

   Проверим знак на этих промежутках:

   • Для $x \in (-\infty, -1)$, например, $x = -2$:

     $$(-2)^2 - 3(-2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0.$$

   • Для $x \in (-1, 4)$, например, $x = 0$:

     $$0^2 - 3(0) - 4 = -4 < 0.$$

   • Для $x \in (4, +\infty)$, например, $x = 5$:

     $$5^2 - 3(5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 > 0.$$

   Так