Решите неравенства 1. log₁/₂(3x-1) < log₁/₂(3-x)

Для решения неравенства $\log_{\frac{1}{2}}(3x - 1) < \log_{\frac{1}{2}}(3 - x)$ нужно выполнить несколько шагов.

1. Преобразуем логарифмы с основанием $\frac{1}{2}$:
   Логарифмы с основанием $\frac{1}{2}$ убывают, поэтому неравенство изменится на противоположное при удалении логарифмов. Это важно учесть, чтобы правильно решить неравенство.

   Начнем с того, что можем записать:

   $$\log_{\frac{1}{2}}(3x - 1) < \log_{\frac{1}{2}}(3 - x) \quad \Rightarrow \quad 3x - 1 > 3 - x$$

   Это происходит из-за того, что логарифм с основанием меньше единицы меняет знак неравенства.

2. Решаем полученное линейное неравенство:
   Решим неравенство:

   $$3x - 1 > 3 - x$$

   Переносим все $x$-термины в одну сторону, а числа — в другую:

   $$3x + x > 3 + 1$$ $$4x > 4$$

   Разделим обе части неравенства на 4:

   $$x > 1$$

3. Учтем область допустимых значений:
   Логарифмы определены только при положительных аргументах, поэтому нам нужно решить систему неравенств для $3x - 1 > 0$ и $3 - x > 0$, чтобы исключить недопустимые значения.

   • $3x - 1 > 0$ даёт $x > \frac{1}{3}$

   • $3 - x > 0$ даёт $x < 3$

   Таким образом, область допустимых значений для $x$ будет: $\frac{1}{3} < x < 3$.

4. Соединяем результаты:
   Мы получили, что $x > 1$ из решения неравенства, и что $x$ должно быть в интервале $\frac{1}{3} < x < 3$. Поэтому окончательный ответ будет:

   $$1 < x < 3$$

Ответ: $x \in (1, 3)$.