Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y= -x^2+2x+3, y=3-x б) y= x^2-4x, y=-(x-4)^2

Часть а)

Нам нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя функциями:

1. $y = -x^2 + 2x + 3$

2. $y = 3 - x$

Для начала, найдем точки пересечения этих двух графиков. Для этого приравняем их выражения:

Преобразуем уравнение:

Вынесем общий множитель:

Получаем два корня: $x = 0$ и $x = 3$.

Таким образом, эти функции пересекаются в точках $x = 0$ и $x = 3$.

Теперь вычислим площадь между графиками на интервале от 0 до 3. Для этого нужно найти разницу между значениями функций на этом интервале и интегрировать её:

Площадь будет равна интегралу от разности функций:

Упростим выражение под интегралом:

Теперь найдем этот интеграл:

Вычислим каждый из интегралов:

1. $\int_0^3 -x^2 \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} \right]_0^3 = -\frac{27}{3} + 0 = -9$

2. $\int_0^3 3x \, dx = \left[ \frac{3x^2}{2} \right]_0^3 = \frac{3 \times 9}{2} - 0 = \frac{27}{2} = 13.5$

Теперь сложим результаты:

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций, равна 4.5 квадратных единиц.

Часть б)

Теперь вычислим площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

1. $y = x^2 - 4x$

2. $y = -(x - 4)^2$

Сначала найдем точки пересечения этих функций. Для этого приравняем их:

Раскроем скобки и упростим:

Приведем все выражения к одной стороне:

Разделим на 2:

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: