Разложите квадратный трёхчлен 3х² + 10х - 8 на линейные множители.

Чтобы разложить квадратный трёхчлен $3x^2 + 10x - 8$ на линейные множители, следуем следующему алгоритму:

1. Определим коэффициенты. У нас есть трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$, где:

   • $a = 3$,

   • $b = 10$,

   • $c = -8$.

2. Найдем произведение $a \times c$. Мы умножаем коэффициенты при $x^2$ и свободный член:

   $$a \times c = 3 \times (-8) = -24.$$

3. Найдём два числа, которые дают в сумме $b$ и в произведении $a \times c$. Нам нужно найти два числа, которые:

   • в сумме дают $b = 10$,

   • в произведении дают $-24$.

   Подходящие числа — это $12$ и $-2$, так как:

   $$12 + (-2) = 10 \quad \text{и} \quad 12 \times (-2) = -24.$$

4. Разбиваем средний член. Мы заменим средний член $10x$ на сумму $12x - 2x$:

   $$3x^2 + 12x - 2x - 8.$$

5. Группируем и выносим общие множители:

   $$(3x^2 + 12x) - (2x + 8).$$

   Из первой группы выносим $3x$, а из второй группы выносим $-2$:

   $$3x(x + 4) - 2(x + 4).$$

6. Вынесем общий множитель $(x + 4)$:

   $$(x + 4)(3x - 2).$$

Таким образом, разложение квадратного трёхчлена $3x^2 + 10x - 8$ на линейные множители будет: