Что такое ОТНОШЕНИЕ (в математике)

Отношение в математике – это, по сути, сравнение двух величин или чисел, показывающее, во сколько раз одна величина больше (меньше) другой или какую часть одна составляет от другой.

Обычно под словом «отношение» в школьной математике имеют в виду отношение чисел (ratio). В более продвинутой математике есть ещё «бинарное отношение» (связь между элементами множеств), но про него коротко скажу в конце, чтобы не путаться.

1. Отношение чисел: что это такое

Пусть есть два числа $a$ и $b$ (при этом $b \neq 0$).

Отношение числа $a$ к числу $b$ – это $\dfrac{a}{b}$.

Записывать можно по-разному:

• через двоеточие:

  $$a : b$$

• в виде дроби:

  $$\dfrac{a}{b}$$

Это, по сути, одно и то же, просто разные формы записи.
Например, отношение 6 к 3:

• $6 : 3$

• $\dfrac{6}{3} = 2$

Смысл: 6 в 2 раза больше 3.

2. Как понимать отношение на интуитивном уровне

Некоторые простые интерпретации:

1. Во сколько раз одна величина больше другой
   Отношение 10 к 2:

   $$10 : 2 = 5$$

   Значит, 10 в 5 раз больше 2.

2. Какая часть одной величины от другой
   Отношение 2 к 10:

   $$2 : 10 = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$$

   Значит, 2 – это одна пятая от 10.

3. Сравнение частей в составе
   Например, если в коробке 3 синих шарика и 2 красных,
   то отношение количества синих к количеству красных: $3 : 2$.
   Это значит: на каждые 3 синих приходится 2 красных.

3. Свойства отношения чисел

Есть несколько важных моментов:

3.1. Отношение можно упростить (как дробь)

Если у чисел есть общий делитель, можно разделить оба числа на него.

Например:

• $6 : 4$
  Разделим оба числа на 2:
  $6 : 4 = 3 : 2$.

Отношение 6:4 и 3:2 означают одно и то же – просто 3 части одного к 2 частям другого.

3.2. Нельзя делить на ноль

Отношение вида $a : 0$ не определено, потому что нельзя делить на ноль.

Отношение $\dfrac{a}{b}$ имеет смысл только при $b \neq 0$.

3.3. Порядок важен

Отношение $a : b$ не то же самое, что $b : a$.

Например:

• $6 : 3 = 2$

• $3 : 6 = 0{,}5$

Это разные вещи: в первом случае первая величина в 2 раза больше второй, во втором – первая в 2 раза меньше второй.

4. Отношение и пропорция

Часто отношения используют в пропорциях.

Пропорция – это равенство двух отношений:

Например:

Проверим:

Пропорции удобны, когда:

• решают задачи про масштаб (карта, чертеж),

• задачи на проценты,

• задачи на смеси, сплавы, скорость, время, расстояние и т.д.

5. Примеры из реальной жизни

1. Карта
   Масштаб 1:100 000 означает:
   1 единица на карте соответствует 100 000 таким же единицам на местности.
   Это отношение длины на карте к длине на местности.

2. Рецепт
   Рецепт: 2 стакана воды и 1 стакан крупы.
   Отношение воды к крупе: $2 : 1$.
   Если крупы взять 3 стакана, воды нужно 6 стаканов (то же отношение 2:1).

3. Мужчины и женщины в группе
   Если в группе 8 мужчин и 12 женщин, отношение мужчин к женщинам:

   $$8 : 12 = 2 : 3$$

   То есть на каждые 2 мужчины приходится 3 женщины.

6. Немного про «отношение» в более строгой математике

В более продвинутых разделах математики слово «отношение» используют ещё и в другом смысле – как перевод английского relation – это уже бинарное отношение между элементами множеств.

Очень кратко:

• Есть множество, например, всех людей.

• Можно рассмотреть «отношение старшинства»:

  • записывают как: «x старше y»,

  • говорят: между $x$ и $y$ есть отношение «быть старше».

Это уже не «отношение чисел» (как $\frac{a}{b}$), а логическая связь между объектами.

Но если вопрос школьного уровня, то почти всегда под «отношением» имеют в виду именно отношение двух чисел или величин, то есть по сути дробь, показывающую, как одно связано с другим по величине.