Найти параметр параболы y2-5x-8y-14=0.

Чтобы найти параметры параболы, заданной уравнением $y^2 - 5x - 8y - 14 = 0$, сначала упростим это уравнение и выделим $y$ в явном виде. Начнем с приведения уравнения к более удобной форме.

1. Перепишем уравнение:

   $$y^2 - 8y = 5x + 14$$

2. Завершим квадрат для $y$: Для этого мы добавим и вычтем $(\frac{8}{2})^2 = 16$ на левой стороне уравнения:

   $$y^2 - 8y + 16 = 5x + 14 + 16$$

   Это упрощается до:

   $$(y - 4)^2 = 5x + 30$$

3. Приведем уравнение к стандартному виду: Теперь можно записать уравнение в форме:

   $$(y - 4)^2 = 5(x + 6)$$

   Это уравнение параболы, открытой вправо.

Теперь, когда у нас есть уравнение в стандартной форме $(y - k)^2 = 4p(x - h)$, можно определить параметры параболы:

• Вершина параболы: $(h, k)$

  • В нашем случае $h = -6$, $k = 4$, значит вершина находится в точке $(-6, 4)$.

• Параметр $p$:

  • Параметр $p$ в нашем уравнении равен $\frac{4p}{5}$, что означает $4p = 5$, следовательно $p = \frac{5}{4}$. Параметр $p$ определяет расстояние от вершины до фокуса и директриссы.

• Фокус:

  • Фокус находится на расстоянии $p$ от вершины параболы. Так как парабола открыта вправо, фокус будет находиться в точке $(h + p, k)$:
  $$F\left(-6 + \frac{5}{4}, 4\right) = F\left(-\frac{24}{4} + \frac{5}{4}, 4\right) = F\left(-\frac{19}{4}, 4\right)$$

• Директрисса:

  • Уравнение директриссы для параболы, открывающейся вправо, имеет вид $x = h - p$:
  $$x = -6 - \frac{5}{4} = -\frac{24}{4} - \frac{5}{4} = -\frac{29}{4}$$

Итак, резюмируя:

• Вершина: $(-6, 4)$
• Параметр $p$: $\frac{5}{4}$
• Фокус: $\left(-\frac{19}{4}, 4\right)$
• Директрисса: $x = -\frac{29}{4}$

Это основные параметры параболы, заданной уравнением $y^2 - 5x - 8y - 14 = 0$.