Бросают игральный кубик. Какова вероятность того, что выпадёт число очков: а) делящееся и на 2, и на 3; б) делящееся на 2 и не делящееся на 3; в) делящееся на 3 и не делящееся на 2; г) не делящееся ни на 2, ни на 3; д) делящееся или на 2, или на 3?

Рассматриваем обычный игральный кубик с числами от 1 до 6. Все исходы равновероятны, значит, вероятность каждого — $\dfrac{1}{6}$.

Множество возможных исходов:

Разберём каждый пункт.

а) Число делится и на 2, и на 3

Число, которое делится и на 2, и на 3, должно делиться на 6.
Из чисел 1–6 таким является только:

Благоприятных исходов: 1 (только 6).
Всего исходов: 6.

б) Число делится на 2 и не делится на 3

Сначала найдём числа, которые делятся на 2:

• 2, 4, 6.

Из них исключаем те, которые делятся на 3. Число 6 делится на 3, значит оно не подходит.
Остаются:

• 2, 4.

Благоприятных исходов: 2.
Всего исходов: 6.

в) Число делится на 3 и не делится на 2

Сначала числа, которые делятся на 3:

• 3, 6.

Из них берем те, которые не делятся на 2.
3 — нечётное, на 2 не делится; 6 — чётное, делится на 2, значит не подходит.
Остаётся:

Благоприятных исходов: 1.
Всего исходов: 6.

г) Число не делится ни на 2, ни на 3

Переберём все числа от 1 до 6 и посмотрим, какие не делятся ни на 2, ни на 3:

• 1: не делится ни на 2, ни на 3 — подходит;

• 2: делится на 2 — не подходит;

• 3: делится на 3 — не подходит;

• 4: делится на 2 — не подходит;

• 5: не делится ни на 2, ни на 3 — подходит;

• 6: делится и на 2, и на 3 — не подходит.

Подходящие числа:

• 1, 5.

Благоприятных исходов: 2.
Всего исходов: 6.

д) Число делится или на 2, или на 3 (или на оба сразу)

Здесь «или» — в математическом смысле: допускается, что число может делиться и на 2, и на 3 одновременно (то есть на 6).

Найдём все числа от 1 до 6, которые делятся хотя бы на одно из чисел 2 или 3:

• 2 — делится на 2;

• 3 — делится на 3;

• 4 — делится на 2;

• 6 — делится и на 2, и на 3.

Числа:

• 2, 3, 4, 6.

Благоприятных исходов: 4.
Всего исходов: 6.

Можно заметить, что варианты а), б), в), г) покрывают все возможные исходы и их вероятности в сумме дают 1:

а вероятность из пункта д) равна $1 - P(\text{не делится ни на 2, ни на 3}) = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$, что совпадает с нашим ответом.

Итоговые ответы:

• а) $\dfrac{1}{6}$;

• б) $\dfrac{1}{3}$;

• в) $\dfrac{1}{6}$;

• г) $\dfrac{1}{3}$;

• д) $\dfrac{2}{3}$.