Найдите наименьшее значение функции y = x³ + 6x² + 9x + 8 на отрезке [-2; 0].

Для нахождения наименьшего значения функции $y = x^3 + 6x^2 + 9x + 8$ на отрезке $[-2; 0]$, необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдем производную функции.

Для того чтобы найти экстремумы функции, вычислим её первую производную.

Используем правила дифференцирования:

Шаг 2: Найдем критические точки.

Критические точки функции находятся там, где её производная равна нулю, то есть решим уравнение:

Упростим его:

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Корни уравнения:

Таким образом, получаем два корня:

Шаг 3: Проверим, какие из критических точек лежат на отрезке $[-2; 0]$.

Мы нашли две критические точки: $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.

Отрезок $[-2; 0]$ включает точку $x_1 = -1$, но не включает точку $x_2 = -3$, так как она выходит за пределы отрезка.

Шаг 4: Проверим значения функции в критической точке и на концах отрезка.

Теперь вычислим значение функции в критической точке $x_1 = -1$ и на концах отрезка $x = -2$ и $x = 0$.

1. В точке $x = -1$:

2. В точке $x = -2$:

3. В точке $x = 0$:

Шаг 5: Найдем наименьшее значение.

Теперь, сравнив значения функции в этих точках, видим, что:

Наименьшее значение функции на отрезке $[-2; 0]$ достигается в точке $x = -1$, и оно равно 4.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-2; 0]$ равно 4.