Найти наибольшее значение функции y = 3x - 2x√x на отрезке [0; 4].

Чтобы найти наибольшее значение функции $y = 3x - 2x\sqrt{x}$ на отрезке $[0; 4]$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Определим функцию:

   $$y = 3x - 2x\sqrt{x}$$

2. Найдем производную функции:
   Для этого применим правила дифференцирования:

   • Производная от $3x$ равна $3$.

   • Для $2x\sqrt{x}$ воспользуемся правилом произведения. Напишем $x\sqrt{x}$ как $x^{3/2}$, и применим правило дифференцирования:

   $$\frac{d}{dx}\left(x^{3/2}\right) = \frac{3}{2}x^{1/2}$$

   Таким образом, производная от $2x\sqrt{x} = 2x^{3/2}$ будет:

   $$\frac{d}{dx}\left(2x^{3/2}\right) = 3x^{1/2}$$

   Значит, производная функции $y = 3x - 2x\sqrt{x}$ будет:

   $$y' = 3 - 3x^{1/2}$$

3. Найдем критические точки:
   Критическая точка возникает, когда производная равна нулю или не существует. Приравняем производную к нулю:

   $$3 - 3x^{1/2} = 0$$

   Решаем это уравнение:

   $$x^{1/2} = 1$$ $$x = 1$$

   Таким образом, $x = 1$ — это критическая точка функции.

4. Проверим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
   Нужно вычислить значение функции в точках $x = 0$, $x = 1$, и $x = 4$.

   • Для $x = 0$:

     $$y(0) = 3(0) - 2(0)\sqrt{0} = 0$$

   • Для $x = 1$:

     $$y(1) = 3(1) - 2(1)\sqrt{1} = 3 - 2 = 1$$

   • Для $x = 4$:

     $$y(4) = 3(4) - 2(4)\sqrt{4} = 12 - 2(4)(2) = 12 - 16 = -4$$

5. Результат:
   Мы вычислили значения функции в трех точках:

   • $y(0) = 0$

   • $y(1) = 1$

   • $y(4) = -4$

   Наибольшее значение функции на отрезке $[0; 4]$ равно 1 и оно достигается в точке $x = 1$.

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке $[0; 4]$ равно 1, оно достигается при $x = 1$.