Напишите уравнение касательной к графику функции \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 10x - 1 \), параллельной прямой \( y = -2x + 1 \).

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^3 - 6x^2 + 10x - 1$, параллельной прямой $y = -2x + 1$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции:
   Производная функции $f(x)$ будет представлять собой выражение для углового коэффициента касательной. Найдем производную:

   $$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 10x - 1)$$

   Применяем стандартные правила дифференцирования:

   $$f'(x) = 3x^2 - 12x + 10$$

2. Условие параллельности прямых:
   Прямая $y = -2x + 1$ имеет угловой коэффициент $-2$. Касательная к графику функции будет параллельна этой прямой, если её угловой коэффициент тоже равен $-2$. То есть, нам нужно найти значение $x_0$, для которого производная функции равна $-2$:

   $$f'(x_0) = -2$$

   Подставим $f'(x) = 3x^2 - 12x + 10$ в это уравнение:

   $$3x_0^2 - 12x_0 + 10 = -2$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$3x_0^2 - 12x_0 + 12 = 0$$

   Делим обе стороны на 3:

   $$x_0^2 - 4x_0 + 4 = 0$$

   Это квадратное уравнение. Решим его:

   $$(x_0 - 2)^2 = 0$$

   Таким образом, $x_0 = 2$.

3. Найдем точку касания:
   Теперь, зная, что касательная проходит через точку $x_0 = 2$, находим координату точки касания, подставив $x_0 = 2$ в исходную функцию $f(x)$:

   $$f(2) = 2^3 - 6(2^2) + 10(2) - 1 = 8 - 24 + 20 - 1 = 3$$

   Таким образом, точка касания имеет координаты $(2, 3)$.

4. Уравнение касательной:
   Теперь у нас есть точка касания $(2, 3)$ и угловой коэффициент касательной $-2$. Уравнение касательной имеет вид:

   $$y - y_1 = m(x - x_1)$$

   где $m$ — угловой коэффициент, а $(x_1, y_1)$ — точка касания. Подставим известные значения:

   $$y - 3 = -2(x - 2)$$

   Раскроем скобки:

   $$y - 3 = -2x + 4$$

   Переносим 3 на правую сторону:

   $$y = -2x + 7$$

Таким образом, уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^3 - 6x^2 + 10x - 1$, параллельной прямой $y = -2x + 1$, имеет вид: