Напишите уравнение касательной к графику функции у=х^2-4х+6,перпендикулярной прямой у=х

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции $y = x^2 - 4x + 6$, которая перпендикулярна прямой $y = x$, следуем по шагам:

1. Найдем угловой коэффициент прямой, перпендикулярной $y = x$.

Угловой коэффициент прямой $y = x$ равен 1 (так как перед $x$ стоит коэффициент 1). Прямая, перпендикулярная к данной, будет иметь угловой коэффициент, равный отрицательному обратному значению этого коэффициента. То есть угловой коэффициент перпендикулярной прямой будет равен $-1$.

2. Выражение для касательной.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в некоторой точке $x_0$ можно найти через производную функции. Производная функции $y = x^2 - 4x + 6$ даст нам угловой коэффициент касательной в любой точке:

3. Уравнение касательной.

Касательная имеет вид:

где $m$ — угловой коэффициент, а $(x_0, y_0)$ — точка касания. В данном случае угловой коэффициент касательной $m = -1$, так как она перпендикулярна прямой $y = x$.

4. Найдем точку касания.

Нам нужно найти такую точку $x_0$, в которой угловой коэффициент касательной равен $-1$. Подставляем $m = -1$ в производную:

Решаем это уравнение:

5. Находим $y_0$.

Теперь находим координату $y_0$, подставив $x_0 = \frac{3}{2}$ в исходную функцию:

Точка касания — $\left( \frac{3}{2}, \frac{9}{4} \right)$.

6. Уравнение касательной.

Теперь, зная точку касания $\left( \frac{3}{2}, \frac{9}{4} \right)$ и угловой коэффициент касательной $m = -1$, можем записать уравнение касательной:

Упростим уравнение:

Приведем к общему знаменателю:

Итак, уравнение касательной, перпендикулярной прямой $y = x$, равно: