В выпуклом четырехугольнике ABCD AB=BC, AD=CD, угол B = 69 градусов, угол D = 135 градусов. Найти угол А.

Дано, что четырехугольник ABCD выпуклый, и выполняются следующие условия:

• AB = BC (стороны AB и BC равны),

• AD = CD (стороны AD и CD равны),

• угол B = 69°,

• угол D = 135°.

Нужно найти угол A.

1. Сначала обратим внимание на то, что четырехугольник ABCD является симметричным относительно диагонали BD, так как AB = BC и AD = CD. Это означает, что треугольники ABD и CDB равны по свойствам (по двум сторонам и углу между ними).

2. Углы при вершинах B и D, лежащих напротив одинаковых сторон, тоже будут иметь определённые отношения. Угол B равен 69°, а угол D равен 135°. Сумма углов в любом четырехугольнике всегда равна 360°. Таким образом, можем найти сумму углов A и C:

   $$\angle A + \angle C = 360^\circ - (\angle B + \angle D) = 360^\circ - (69^\circ + 135^\circ) = 360^\circ - 204^\circ = 156^\circ.$$

3. Теперь заметим, что углы A и C — это углы, противоположные равным сторонам. Таким образом, угол A равен углу C, поскольку ABCD — это равнобедренный четырехугольник. Следовательно, можем написать:

   $$\angle A = \angle C.$$

4. Из уравнения для суммы углов A и C мы получаем:

   $$2 \times \angle A = 156^\circ \quad \Rightarrow \quad \angle A = \frac{156^\circ}{2} = 78^\circ.$$

Таким образом, угол A равен 78°.