Найдите сумму квадратов корней уравнения \(2^{x^2} = 4^{2 - x}\). Объясните, как это делать.

Для решения уравнения $2^{x^2} = 4^{2 - x}$ и нахождения суммы квадратов корней, давайте пошагово разберемся, как это сделать.

1. Приводим обе стороны уравнения к одинаковому основанию:

   Мы видим, что $4$ можно выразить как $2^2$. Таким образом, перепишем правую часть уравнения:

   $$4^{2 - x} = (2^2)^{2 - x} = 2^{2(2 - x)} = 2^{4 - 2x}.$$

   Теперь у нас есть уравнение:

   $$2^{x^2} = 2^{4 - 2x}.$$

2. Приравниваем показатели степеней:

   Поскольку основания на обеих сторонах одинаковые ($2$), можем приравнять показатели степеней:

   $$x^2 = 4 - 2x.$$

3. Решаем полученное квадратное уравнение:

   Переносим все на одну сторону:

   $$x^2 + 2x - 4 = 0.$$

   Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ выглядит так:

   $$D = b^2 - 4ac.$$

   В нашем случае $a = 1$, $b = 2$, и $c = -4$. Подставляем в формулу:

   $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20.$$

   Теперь находим корни с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2}.$$

   Упростим $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$, и получим:

   $$x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2}.$$

   Упростим:

   $$x = -1 \pm \sqrt{5}.$$

   Таким образом, корни уравнения:

   $$x_1 = -1 + \sqrt{5}, \quad x_2 = -1 - \sqrt{5}.$$

4. Находим сумму квадратов корней:

   Чтобы найти сумму квадратов корней $x_1^2 + x_2^2$, воспользуемся формулой:

   $$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2.$$

   Из свойства квадратного уравнения $x^2 + 2x - 4 = 0$, мы знаем, что:

   • $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{1} = -2$,

   • $x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-4}{1} = -4$.

   Подставляем эти значения в формулу:

   $$x_1^2+x_2^2=(-2{)}^2-2(-4)=4+8=12.$$