Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении на 4, на 5 и на 6 даёт в остатке 2 и все цифры которого чётные.

Нам нужно найти трёхзначное натуральное число, которое при делении на 4, 5 и 6 даёт в остатке 2, и при этом все его цифры чётные.

1. Условия деления на 4, 5 и 6:
   Пусть искомое число — это $N$. Оно должно удовлетворять следующим условиям:

   • $N \equiv 2 \pmod{4}$

   • $N \equiv 2 \pmod{5}$

   • $N \equiv 2 \pmod{6}$

   Эти три условия говорят, что число при делении на 4, 5 и 6 даёт остаток 2. Мы можем выразить это как систему остаточных сравнений:

   $$N \equiv 2 \pmod{4}$$ $$N \equiv 2 \pmod{5}$$ $$N \equiv 2 \pmod{6}$$

   Так как числа 4, 5 и 6 имеют НОД, равный 1 (взаимно простые), наименьшее общее кратное этих чисел — это 60. Следовательно, наименьшее число $N$, которое удовлетворяет всем этим условиям, имеет вид:

   $$N = 60k + 2$$

   где $k$ — целое число.

2. Проверка, что $N$ является трёхзначным числом:
   Так как $N = 60k + 2$, чтобы число было трёхзначным, оно должно удовлетворять условию:

   $$100 \leq 60k + 2 \leq 999$$

   Из этого неравенства получаем:

   $$98 \leq 60k \leq 997$$

   Разделим на 60:

   $$1.633 \leq k \leq 16.633$$

   То есть $k$ может быть целым числом от 2 до 16.

3. Чётные цифры:
   Теперь нам нужно, чтобы все цифры числа $N = 60k + 2$ были чётными. Рассмотрим возможные значения $k$ от 2 до 16 и проверим, какие из них дают число с чётными цифрами.

   • Для $k = 2$: $N = 60 \times 2 + 2 = 122$. Цифры: 1, 2, 2 (не все чётные).

   • Для $k = 4$: $N = 60 \times 4 + 2 = 242$. Цифры: 2, 4, 2 (все чётные).

   • Для $k = 6$: $N = 60 \times 6 + 2 = 362$. Цифры: 3, 6, 2 (не все чётные).

   • Для $k = 8$: $N = 60 \times 8 + 2 = 482$. Цифры: 4, 8, 2 (все чётные).

   • Для $k = 10$: $N = 60 \times 10 + 2 = 602$. Цифры: 6, 0, 2 (все чётные).

   • Для $k = 12$: $N = 60 \times 12 + 2 = 722$. Цифры: 7, 2, 2 (не все чётные).

   • Для $k = 14$: $N = 60 \times 14 + 2 = 842$. Цифры: 8, 4, 2 (все чётные).

   • Для $k = 16$: $N = 60 \times 16 + 2 = 962$. Цифры: 9, 6, 2 (не все чётные).

   Таким образом, подходящие значения $k$, при которых $N$ имеет все чётные цифры, это $k = 4, 8, 10, 14$.

4. Ответ:
   Из этих значений $k$ числа, которые удовлетворяют всем условиям задачи:

   • $242$

   • $482$

   • $602$

   • $842$

   Все эти числа являются трёхзначными, делятся на 4, 5 и 6 с остатком 2, и имеют чётные цифры.