Найти все натуральные n, удовлетворяющие условию (n+1)!/(n-1)! = 72

Ответы на вопрос

Отвечает Кириллова Полина.

Давайте решим задачу пошагово.

Нам нужно найти все натуральные числа $n$ , которые удовлетворяют условию:

\frac{(n+1)!}{(n-1)!} = 72

Рассмотрим факториалы в числителе и знаменателе:

\frac{(n+1)!}{(n-1)!} = \frac{(n+1)(n)(n-1)!}{(n-1)!}

Поскольку $(n-1)!$ в числителе и знаменателе сокращаются, остается:

(n+1) \cdot n

Таким образом, у нас получается:

n(n+1) = 72

Теперь решим квадратное уравнение:

n(n+1) = 72

Распишем это уравнение:

n^2 + n = 72

Переносим все в одну сторону:

n^2 + n - 72 = 0

Для решения этого уравнения используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

В нашем случае $a = 1$ , $b = 1$ , $c = -72$ . Подставляем эти значения в формулу:

n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72)}}{2 \cdot 1}

n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 288}}{2}

n = \frac{-1 \pm \sqrt{289}}{2}

n = \frac{-1 \pm 17}{2}

Теперь вычислим два возможных значения для $n$ :

Так как $n$ должно быть натуральным числом, то $n = -9$ не подходит. Оставляем $n = 8$ .

Единственное натуральное число $n$ , которое удовлетворяет данному условию, это $n = 8$ .

Последние заданные вопросы в категории Математика

Ответы на вопрос