решите уравнение (x-4)(4x+6)=(x-5)^2

Для решения уравнения $(x-4)(4x+6) = (x-5)^2$, давайте разберем его шаг за шагом.

1. Раскроем скобки с обеих сторон уравнения.

   Сначала раскроем левую часть:

   $$(x - 4)(4x + 6) = x(4x + 6) - 4(4x + 6) = 4x^2 + 6x - 16x - 24 = 4x^2 - 10x - 24.$$

   Теперь раскроем правую часть:

   $$(x - 5)^2 = (x - 5)(x - 5) = x^2 - 10x + 25.$$

   Получаем следующее уравнение:

   $$4x^2 - 10x - 24 = x^2 - 10x + 25.$$

2. Переносим все слагаемые на одну сторону уравнения, чтобы привести его к стандартному виду:

   $$4x^2 - 10x - 24 - x^2 + 10x - 25 = 0.$$

   Упростим:

   $$4x^2 - x^2 - 24 - 25 = 0,$$ $$3x^2 - 49 = 0.$$

3. Переносим $49$ на правую сторону:

   $$3x^2 = 49.$$

4. Делим обе стороны уравнения на 3:

   $$x^2 = \frac{49}{3}.$$

5. Извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

   $$x = \pm \sqrt{\frac{49}{3}} = \pm \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{3}} = \pm \frac{7}{\sqrt{3}}.$$

6. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

   $$x = \pm \frac{7}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \pm \frac{7\sqrt{3}}{3}.$$

Ответ: $x = \pm \frac{7\sqrt{3}}{3}$.