Составить уравнение касательной и нормали к графику функции y=2x-x^2 в точке X0=3

Чтобы найти уравнения касательной и нормали к графику функции $y = 2x - x^2$ в точке $x_0 = 3$, нужно выполнить несколько шагов:

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 3$:

   Подставляем $x_0 = 3$ в уравнение функции:

   $$y(3) = 2(3) - (3)^2 = 6 - 9 = -3$$

   Таким образом, точка на графике функции, в которой будем искать касательную и нормаль, имеет координаты $(3, -3)$.

2. Найдем производную функции для вычисления углового коэффициента касательной:

   Функция $y = 2x - x^2$ имеет производную:

   $$y' = 2 - 2x$$

   Подставляем $x_0 = 3$ в производную, чтобы найти угловой коэффициент касательной в этой точке:

   $$y'(3) = 2 - 2(3) = 2 - 6 = -4$$

   Угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 3$ равен $-4$.

3. Запишем уравнение касательной:

   Уравнение касательной к графику функции в точке $x_0 = 3$ имеет вид:

   $$y - y_0 = m(x - x_0)$$

   где $m$ — угловой коэффициент касательной, а $(x_0, y_0)$ — координаты точки касания. Подставляем все известные значения:

   $$y - (-3) = -4(x - 3)$$

   Упростим:

   $$y + 3 = -4(x - 3)$$ $$y + 3 = -4x + 12$$ $$y = -4x + 9$$

   Уравнение касательной: $y = -4x + 9$.

4. Найдем уравнение нормали:

   Нормаль — это прямая, перпендикулярная касательной. Угловой коэффициент нормали будет обратным и противоположным угловому коэффициенту касательной, то есть:

   $$m_{\text{нормали}} = \frac{1}{4}$$

   Уравнение нормали будет иметь вид:

   $$y - y_0 = m_{\text{нормали}}(x - x_0)$$

   Подставляем известные значения:

   $$y - (-3) = \frac{1}{4}(x - 3)$$ $$y + 3 = \frac{1}{4}(x - 3)$$ $$y + 3 = \frac{1}{4}x - \frac{3}{4}$$ $$y = \frac{1}{4}x - \frac{3}{4} - 3$$ $$y = \frac{1}{4}x - \frac{15}{4}$$

   Уравнение нормали: $y = \frac{1}{4}x - \frac{15}{4}$.

Таким образом, уравнение касательной: $y = -4x + 9$, а уравнение нормали: $y = \frac{1}{4}x - \frac{15}{4}$.