В классе учится 30 человек, из них 20 человек посещают кружок по истории, а 16 человек — кружок по математике. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных. В этом классе: 1) найдутся хотя бы два человека, которые посещают оба кружка; 2) если ученик не ходит на кружок по истории, то он обязательно ходит на кружок по математике; 3) если ученик не ходит на кружок по истории, то он обязательно ходит на кружок по математике; 4) не найдётся 17 человек, которые посещают оба кружка.

Правильные утверждения: 1 и 4.

Пояснение. Обозначим через $H$ — посещающих историю ($|H|=20$), через $M$ — посещающих математику ($|M|=16$), всего учеников — 30.

По формуле включений-исключений:

Значит, в обоих кружках минимум 6 человек, следовательно, утверждение 1 («найдутся хотя бы два…») верно.

Максимально пересечение не может превышать меньшего из чисел 20 и 16, то есть $\max |H\cap M| = 16$. Следовательно, 17 человек в обоих кружках быть не может, утверждение 4 верно.

Утверждения 2) и 3) (они одинаковые по смыслу) равносильны тому, что каждый неисторик обязательно математик, то есть $H^c \subseteq M$, а значит $H\cup M$ охватывает весь класс. Из данных это не следует: например, если $|H\cap M|=10$, то $|H\cup M|=20+16-10=26$, и остаются 4 ученика, не посещающие ни один кружок. Значит, 2) и 3) не следуют из условий.