Имеются 3 кубика. Какова вероятность сложить слово «СЫН» из этих кубиков?

Если речь про три буквенных кубика, и на каждом после броска выпадает одна случайная буква русского алфавита (все 33 буквы равновероятны и независимы), то:

• Если кубики можно переставлять, т.е. важен только набор букв {С, Ы, Н}, а порядок не важен, то благоприятных исходов 3! = 6 (все перестановки С–Ы–Н). Всего исходов 33³.

  $$P=\frac{6}{33^3}=\frac{6}{35937}\approx 0{,}00016696\;\;(\approx 0{,}0167\%)$$

• Если важен порядок на столе (первый кубик — «С», второй — «Ы», третий — «Н», без перестановок), то благоприятный исход ровно один:

  $$P=\frac{1}{33^3}=\frac{1}{35937}\approx 0{,}000027826\;\;(\approx 0{,}0027826\%)$$

Почему так: каждый кубик даёт 33 равновероятных результата, значит всего 33×33×33 исходов. Для слова из трёх разных букв без учёта порядка — просто считаем перестановки: 3! благоприятных вариантов.

А если кубики не «идеальные»?

Часто «кубики с буквами» имеют на гранях заранее заданные буквы (по 6 на каждом), причём некоторые могут повторяться, а каких-то букв может не быть вовсе. Тогда вероятность зависит от того, сколько граней на каждом кубике несут буквы С, Ы, Н.

Обозначим через $c_i(X)$ число граней на $i$-м кубике с буквой $X$ (из $\{С,\;Ы,\;Н\}$). Тогда при равновероятных гранях и независимых бросках:

• Порядок не важен (можно переставлять кубики):

  $$P=\frac{1}{6^3}\sum_{\text{все 6 перестановок}} c_1(\cdot)\,c_2(\cdot)\,c_3(\cdot)$$

  То есть сложите произведения $c_1(С)c_2(Ы)c_3(Н)$, $c_1(С)c_2(Н)c_3(Ы)$, $c_1(Ы)c_2(С)c_3(Н)$, … — всего шесть слагаемых — и поделите на $6^3$.

• Порядок фиксирован (на первом — С, на втором — Ы, на третьем — Н):

  $$P=\frac{c_1(С)}{6}\cdot\frac{c_2(Ы)}{6}\cdot\frac{c_3(Н)}{6}$$

Если на каком-то кубике нет нужной буквы (например, «Ы» отсутствует на всех 6 гранях), вероятность сразу равна нулю.

Итого: без дополнительной информации о разметке граней единственный «числовой» ответ — это модель с 33 равновероятными буквами: $P\approx 0{,}0167\%$ (если разрешено переставлять кубики) или $P\approx 0{,}00278\%$ (если порядок фиксирован).