Около какого выпуклого четырёхугольника можно описать окружность?

Классический ответ: около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.
То есть для четырёхугольника $ABCD$ условие цикличности таково:

Почему это верно

• Необходимость. Если вершины лежат на одной окружности, то вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, в сумме дают полную дугу $180^\circ$. Значит, противоположные углы дополнительны.

• Достаточность. Если в выпуклом четырёхугольнике противоположные углы дополнительны, то можно провести окружность через три вершины; четвёртая автоматически окажется на той же окружности, иначе сумма противоположных углов не была бы $180^\circ$.

Полезные эквивалентные критерии

• Внешний–внутренний угол. Четырёхугольник цикличен ⇔ внешний угол при любой вершине равен внутреннему углу при противолежащей вершине.

• Теорема Птолемея. Для цикличного $ABCD$ выполняется

  $$AC\cdot BD = AB\cdot CD + BC\cdot AD,$$

  и наоборот: если это равенство верно для выпуклого четырёхугольника, он цикличен.

Примеры циклических четырёхугольников

• Прямоугольник (и, как частный случай, квадрат): все углы по $90^\circ$, противоположные в сумме дают $180^\circ$.

• Равнобедренная трапеция: у неё основания параллельны, а углы при каждом основании равны, отсюда противоположные углы — дополнительные.

• Равнобокий дельтоид (кайт) может быть цикличным, если одна пара противоположных углов равна (что эквивалентно дополнительности другой пары).

Итого: ищите именно условие дополнительности противоположных углов — это и есть необходимый и достаточный признак того, что «около» выпуклого четырёхугольника можно описать окружность.