Найдите критические точки, промежутки возрастания и убывания функции: а) \( y = x^3 - 6x^2 + 9x + 3 \)

Решение.

1. Найдём производную:

2. Критические точки — нули производной (и точки, где она не существует; здесь таких нет):

3. Исследуем знак $y'$ на промежутках, разделённых критическими точками:

• При $x<1$: $x-1<0$, $x-3<0$, их произведение $>0$ ⇒ $y'>0$ ⇒ функция возрастает на $(-\infty,1)$.

• При $1$: $x-1>0$, $x-3<0$, произведение $<0$ ⇒ $y'<0$ ⇒ функция убывает на $(1,3)$.

• При $x>3$: $x-1>0$, $x-3>0$, произведение $>0$ ⇒ $y'>0$ ⇒ функция снова возрастает на $(3,+\infty)$.

4. Значения функции в критических точках (для полноты картины экстремумов):

Итог:

• Критические точки: $x=1$ и $x=3$.

• Возрастает на $(-\infty,1)$ и $(3,+\infty)$.

• Убывает на $(1,3)$.

• Локальный максимум в точке $(1,7)$, локальный минимум в точке $(3,3)$.