Турист, двигаясь по пересечённой местности, за первый час пути прошёл 800 м, а за каждый следующий час проходил на 25 м меньше, чем за предыдущий. Сколько времени он потратил на путь, равный 5700 м?

Задача сводится к нахождению времени, которое потратил турист, проходя 5700 м, при условии, что на каждом следующем часе он проходил на 25 м меньше, чем за предыдущий.

Первоначально турист прошёл 800 м за первый час. За каждый следующий час проходил на 25 м меньше, то есть во второй час он прошёл 800 м - 25 м = 775 м, в третий час — 775 м - 25 м = 750 м и так далее.

Это последовательность чисел: 800, 775, 750, 725, и так далее, с каждым шагом уменьшающаяся на 25 м. Сумма этой последовательности и должна быть равна 5700 м. Поскольку это арифметическая прогрессия, можно вычислить количество часов, затраченных на этот путь.

Формула суммы первых $n$-членов арифметической прогрессии:

где:

• $S_n$ — сумма первых $n$-членов прогрессии (в нашем случае 5700 м),

• $a_1$ — первый член прогрессии (800 м),

• $a_n$ — последний член прогрессии (он будет отрицательным или равным нулю, если проходить дальше невозможно).

Для начала найдём, сколько шагов (часов) будет нужно, чтобы пройти 5700 м.

1. Выражаем последний член прогрессии $a_n$ через формулу для $n$-го члена арифметической прогрессии:

где $a_1 = 800$ м, $d = -25$ м/ч. Подставляем:

2. Теперь подставим в формулу для суммы:

Решим это уравнение для $n$:

Умножаем обе части на 2:

Раскроем скобки:

Раскроем скобки:

Переносим всё в одну сторону:

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы:

где $a = 25$, $b = -1625$, $c = 11400$. Подставляем:

Получаем два возможных значения для $n$:

или

Так как общее расстояние равно 5700 м, нам подходит $n = 57$. То есть турист потратил 57 часов на преодоление этого пути.