Y = x^5 + 20x^3 - 65x. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [-3; 0].

Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке $[-3; 0]$, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции:

   Дана функция $Y = x^5 + 20x^3 - 65x$. Чтобы найти критические точки, нужно вычислить её производную:

   $$\frac{dY}{dx} = 5x^4 + 60x^2 - 65$$

2. Найдем критические точки:

   Для этого приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

   $$5x^4 + 60x^2 - 65 = 0$$

   Разделим на 5:

   $$x^4 + 12x^2 - 13 = 0$$

   Обозначим $z = x^2$, тогда у нас получится квадратное уравнение:

   $$z^2 + 12z - 13 = 0$$

   Решаем это уравнение с помощью дискриминанта:

   $$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 144 + 52 = 196$$ $$z = \frac{-12 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 \pm 14}{2}$$

   Получаем два корня:

   $$z_1 = \frac{-12 + 14}{2} = 1, \quad z_2 = \frac{-12 - 14}{2} = -13$$

   Так как $z = x^2$, то $z_2 = -13$ не подходит, так как $x^2 \geq 0$. Поэтому остаётся только $z_1 = 1$, то есть $x^2 = 1$, откуда $x = \pm 1$.

3. Проверим значения функции на концах отрезка и в критических точках:

   У нас есть критическая точка $x = 1$, которая находится в пределах отрезка $[-3; 0]$. Также нужно проверить значения функции в точках $-3$ и $0$, которые являются концами отрезка.

   Подставим $x = -3$ в исходную функцию:

   $$Y(-3) = (-3)^5 + 20(-3)^3 - 65(-3) = -243 - 540 + 195 = -588$$

   Подставим $x = 0$ в исходную функцию:

   $$Y(0) = 0^5 + 20(0)^3 - 65(0) = 0$$

   Подставим $x = -1$ (критическая точка):

   $$Y(-1) = (-1)^5 + 20(-1)^3 - 65(-1) = -1 - 20 + 65 = 44$$

4. Сравним все значения:

   $$Y(-3) = -588, \quad Y(0) = 0, \quad Y(-1) = 44$$

   Наибольшее значение функции на отрезке $[-3; 0]$ достигается в точке $x = -1$, и оно равно $44$.

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке $[-3; 0]$ равно $44$.