Прямолинейная точка движется по закону \( x(t) = \frac{1}{3}t^2 + 4t + 14 \). В какой момент времени её скорость была равна 8 м/с?

Для того чтобы найти момент времени, когда скорость прямолинейной точки была равна 8 м/с, нужно найти выражение для её скорости и решить уравнение для времени.

1. Найдем скорость точки. Скорость $v(t)$ — это производная от закона движения $x(t)$. У нас дано:

   $$x(t) = \frac{1}{3}t^2 + 4t + 14$$

   Производная от $x(t)$ по времени $t$ даст скорость:

   $$v(t) = \frac{d}{dt}\left( \frac{1}{3}t^2 + 4t + 14 \right)$$

   Находим производную:

   $$v(t) = \frac{2}{3}t + 4$$

2. Решим уравнение для скорости. Нам нужно найти время, при котором скорость равна 8 м/с, то есть:

   $$v(t) = 8$$

   Подставим выражение для скорости:

   $$\frac{2}{3}t + 4 = 8$$

   Теперь решим это уравнение:

   $$\frac{2}{3}t = 8 - 4$$ $$\frac{2}{3}t = 4$$ $$t = \frac{4 \times 3}{2} = 6$$

Ответ: момент времени, когда скорость точки была равна 8 м/с, — это $t = 6$ секунд.