Y=12x+3x²-2x³ найти промежутки возрастания и убывания функции

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции $Y = 12x + 3x^2 - 2x^3$, нужно выполнить следующие шаги.

Шаг 1: Найдем производную функции.

Функция $Y = 12x + 3x^2 - 2x^3$ является многочленом. Для нахождения промежутков возрастания и убывания нужно найти её первую производную, так как она показывает скорость изменения функции.

Производная функции $Y$:

Итак, первая производная функции:

Шаг 2: Найдем критические точки.

Критические точки — это такие значения $x$, при которых производная равна нулю или не существует. Найдем такие значения $x$, при которых $Y' = 0$.

Решаем уравнение:

Приведем уравнение к стандартному виду:

Разделим его на -6:

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для корней:

Таким образом, получаем два корня:

Итак, критические точки: $x = 2$ и $x = -1$.

Шаг 3: Определим знак первой производной на интервалах.

Теперь нужно проверить знак производной $Y'$ на интервалах, образованных критическими точками $x = -1$ и $x = 2$. Эти интервалы: $(-\infty, -1)$, $(-1, 2)$, и $(2, +\infty)$.

Для этого подставим значения $x$ из каждого интервала в производную $Y' = 12 + 6x - 6x^2$.

1. Интервал $(-\infty, -1)$: Подставим $x = -2$:

Знак производной отрицательный, значит функция убывает на интервале $(-\infty, -1)$.

2. Интервал $(-1, 2)$: Подставим $x = 0$:

Знак производной положительный, значит функция возрастает на интервале $(-1, 2)$.

3. Интервал $(2, +\infty)$: Подставим $x = 3$:

Знак производной отрицательный, значит функция убывает на интервале $(2, +\infty)$.

Шаг 4: Итог.

• Функция возрастает на интервале $(-1,2)$