Найдите промежуток (промежутки) убывания функции y=3x²-9x-4.

Для нахождения промежутков убывания функции $y = 3x^2 - 9x - 4$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции.

Производная функции $y = 3x^2 - 9x - 4$ будет:

2. Определим критические точки.

Критическими точками называются такие значения $x$, при которых производная равна нулю или не существует. Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

Решим это уравнение:

Таким образом, критическая точка $x = \frac{3}{2}$.

3. Определим характер критической точки.

Чтобы понять, на каком промежутке функция возрастает, а на каком — убывает, проанализируем знак производной. Для этого рассмотрим следующие промежутки:

• Когда $x < \frac{3}{2}$, подставим, например, $x = 0$ в производную $y' = 6x - 9$:

  $$y'(0) = 6(0) - 9 = -9.$$

  Это отрицательное значение, следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, \frac{3}{2})$.

• Когда $x > \frac{3}{2}$, подставим, например, $x = 2$ в производную:

  $$y'(2) = 6(2) - 9 = 12 - 9 = 3.$$

  Это положительное значение, значит, функция возрастает на промежутке $(\frac{3}{2}, +\infty)$.

4. Ответ.

Функция убывает на промежутке $(-\infty, \frac{3}{2})$.