Опишите свойства функции y = 3x² - 12.

Функция: $y = 3x^2 - 12$ — квадратичная, график является параболой.

1) Область определения
Полином определён при любых $x$, поэтому

2) Вид графика и направление ветвей
Коэффициент при $x^2$ равен $3>0$, значит парабола открыта вверх (ветви направлены вверх).
Множитель $3$ делает параболу уже, чем $y=x^2$ (она “растёт” быстрее).

3) Вершина, ось симметрии, минимальное значение
Перепишем в вершинной форме:

Отсюда:

• вершина: $(0;\,-12)$;

• ось симметрии: $x=0$ (ось $Oy$);

• так как ветви вверх, в вершине достигается минимум:

Максимального значения нет.

4) Область значений
Минимум $-12$ есть, дальше значения растут без ограничений:

5) Чётность
Проверим:

Значит функция чётная, график симметричен относительно оси $Oy$.

6) Нули функции и знак
Найдём точки пересечения с осью $Ox$:

Нули: $x=-2$ и $x=2$ (точки $(-2,0)$ и $(2,0)$).

Знак:

• при $|x|<2$ (между корнями) $3x^2-12<0$, то есть $y<0$;

• при $|x|>2$ $3x^2-12>0$, то есть $y>0$;

• при $x=\pm2$ $y=0$.

7) Пересечение с осью $Oy$
При $x=0$:

точка пересечения: $(0,-12)$ (это же вершина).

8) Монотонность (возрастание/убывание)
Парабола с вершиной при $x=0$ убывает слева от вершины и возрастает справа:

• убывает на $(-\infty;0]$;

• возрастает на $[0;+\infty)$.

9) Непрерывность
Полином непрерывен на всей области определения, значит функция непрерывна на $(-\infty;+\infty)$.