Прямая y=3x+4 является касательной к графику функции y=3x²-3x+c. Найдите c.

Чтобы прямая $y = 3x + 4$ была касательной к параболе
$y = 3x^{2} - 3x + c$, нужно, чтобы у этих двух кривых была ровно одна общая точка.

Способ 1. Через дискриминант

Приравняем правые части:

Перенесём всё в одну сторону:

Это квадратное уравнение относительно $x$. Для касания оно должно иметь единственный корень, то есть дискриминант $D$ равен нулю:

Отсюда

Способ 2. Через производную

У касательной совпадают не только координаты, но и угловой коэффициент.

1. Угловой коэффициент прямой $y = 3x + 4$ равен $3$.

2. Производная параболы: $y' = 6x - 3$.
   При касании: $6x - 3 = 3 \;\Longrightarrow\; x = 1$.

3. Подставляем $x = 1$ в уравнение прямой, получаем $y = 3(1) + 4 = 7$.

4. Эта же точка лежит на параболе: $y = 3(1)^2 - 3(1) + c = c$.
   Следовательно, $c = 7$.

В обоих подходах получаем одно и то же значение.