Решите неравенство (x+5)(x-7)/(3x-1) > 0

Для решения неравенства $\frac{(x+5)(x-7)}{3x-1} > 0$, нужно анализировать, при каких значениях $x$ числитель и знаменатель будут иметь такие знаки, что их частное будет положительным.

Шаг 1. Найдём области, где выражение не определено

Для начала определим, при каких значениях $x$ выражение не определено. Это происходит, когда знаменатель равен нулю:

Таким образом, выражение не определено при $x = \frac{1}{3}$.

Шаг 2. Исследуем знак числителя

Числитель выражения $(x+5)(x-7)$ будет равен нулю при $x = -5$ и $x = 7$. Разделим ось чисел на интервалы, соответствующие этим значениям:

• $x = -5$

• $x = \frac{1}{3}$ (пункт, где знаменатель равен нулю)

• $x = 7$

Теперь рассмотрим следующие интервалы:

1. $(- \infty, -5)$

2. $(-5, \frac{1}{3})$

3. $(\frac{1}{3}, 7)$

4. $(7, +\infty)$

Шаг 3. Определяем знак выражения на каждом интервале

Нам нужно исследовать знак выражения на каждом из этих интервалов, подставляя в него любые значения $x$, принадлежащие соответствующему интервалу.

Интервал 1: $x \in (-\infty, -5)$

Выберем точку, например, $x = -6$.

• Числитель: $(x+5)(x-7) = (-6+5)(-6-7) = (-1)(-13) = 13$ — положительный.

• Знаменатель: $3x - 1 = 3(-6) - 1 = -18 - 1 = -19$ — отрицательный.

Частное будет отрицательным, так как положительное число делится на отрицательное.

Интервал 2: $x \in (-5, \frac{1}{3})$

Выберем точку, например, $x = 0$.

• Числитель: $(x+5)(x-7) = (0+5)(0-7) = (5)(-7) = -35$ — отрицательный.

• Знаменатель: $3x - 1 = 3(0) - 1 = -1$ — отрицательный.

Частное будет положительным, так как два отрицательных числа дают положительное.

Интервал 3: $x \in (\frac{1}{3}, 7)$

Выберем точку, например, $x = 1$.

• Числитель: $(x+5)(x-7) = (1+5)(1-7) = (6)(-6) = -36$ — отрицательный.

• Знаменатель: $3x - 1 = 3(1) - 1 = 3 - 1 = 2$ — положительный.

Частное будет отрицательным, так как отрицательное число делится на положительное.

Интервал 4: $x \in (7, +\infty)$

Выберем точку, например, $x = 8$.

• Числитель: $(x+5)(x-7) = (8+5)(8-7) = (13)(1) = 13$ — положительный.

• Знаменатель: $3x - 1 = 3(8) - 1 = 24 - 1 = 23$ — положительный.

Частное будет положительным, так как оба числа положительные.

Шаг 4. Составляем ответ

Итак, выражение $\frac{(x+5)(x-7)}{3x-1} > 0$ выполняется на интервалах, где частное положительное:

• $(-5, \frac{1}{3})$

• $(7, +\infty)$

Кроме того, на значениях $x = -5$ и $x = 7$ числитель равен нулю, что делает выражение равным нулю, а не больше нуля, поэтому эти точки не включаются в решение.

Ответ: $x \in (-5, \frac{1}{3}) \cup (7, +\infty)$.