Кузнечик прыгает по прямой: первый раз — на 1 см, второй раз — на 2 см и так далее. Может ли он через 25 прыжков вернуться в исходную точку?

Задача состоит в том, чтобы понять, может ли кузнечик вернуться в исходную точку после 25 прыжков, если каждый его прыжок увеличивается на 1 см (первый — на 1 см, второй — на 2 см и так далее).

Чтобы решить задачу, нужно понять, как распределяются прыжки кузнечика. Пусть он делает 25 прыжков, то расстояние, которое он преодолеет, будет суммой длин всех его прыжков:

1 + 2 + 3 + ... + 25

Эта сумма является суммой первых 25 натуральных чисел, и она рассчитывается по формуле суммы арифметической прогрессии:

$S = \frac{n(n+1)}{2}$

где $n = 25$. Подставим:

$S = \frac{25 \times (25+1)}{2} = \frac{25 \times 26}{2} = 325 \, \text{см}$

Теперь давайте подумаем о том, как кузнечик может вернуться в исходную точку. Для того чтобы он вернулся в исходную точку, сумма всех его движений должна быть равна нулю. Это означает, что кузнечик должен совершить столько прыжков вперёд, сколько назад.

Каждый прыжок может быть либо вперёд, либо назад. Если бы кузнечик мог вернуться в исходную точку, сумма его прыжков (в том числе направленных в противоположную сторону) должна была бы быть равна нулю. Но сумма всех прыжков составляет 325 см, а это нечетное число. Для того чтобы сумма была равна нулю, она должна быть четным числом, потому что сумма любых двух чисел с одинаковым знаком всегда будет четной, а 325 — нечетное число.

Таким образом, кузнечик не может вернуться в исходную точку через 25 прыжков.