Найдите наименьшее значение функции \( y = \sqrt{x^2 + 12x + 40} \) (всё под корнем).

Для того чтобы найти наименьшее значение функции $y = \sqrt{x^2 + 12x + 40}$, начнем с того, что выразим выражение под корнем в более удобной форме.

1. Преобразуем выражение $x^2 + 12x + 40$ с помощью выделения полного квадрата. Для этого сначала выделим квадрат из первых двух членов:

   $$x^2 + 12x = (x + 6)^2 - 36$$

2. Теперь подставим это в исходное выражение для функции:

   $$y = \sqrt{(x + 6)^2 - 36 + 40} = \sqrt{(x + 6)^2 + 4}$$

3. Видно, что подкоренное выражение всегда больше или равно 4, так как квадрат любого числа неотрицателен, а добавление 4 делает выражение положительным. Таким образом, наименьшее значение под корнем будет, когда $(x + 6)^2 = 0$, то есть $x + 6 = 0$, или $x = -6$.

4. Подставим $x = -6$ в выражение для $y$:

   $$y = \sqrt{(x + 6)^2 + 4} = \sqrt{0 + 4} = \sqrt{4} = 2$$

Таким образом, наименьшее значение функции $y = \sqrt{x^2 + 12x + 40}$ равно 2.