Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 84, проведена плоскость. Найти объем отсеченной треугольной призмы.

Рассмотрим треугольную призму с основанием $\triangle ABC$. Ее объем равен

где $S_{ABC}$ — площадь основания, $h$ — высота призмы (расстояние между основаниями).

В основании проведена средняя линия $MN$. Это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Пусть $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $AC$. Тогда:

• $MN \parallel BC$,

• треугольник $\triangle AMN$ подобен $\triangle ABC$,

• коэффициент подобия по линейным размерам равен $\dfrac{1}{2}$, потому что $AM=\dfrac{AB}{2}$ и $AN=\dfrac{AC}{2}$.

Значит, площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

Плоскость проведена через $MN$ так, что отсекается треугольная призма — то есть часть призмы, у которой основание именно треугольник $AMN$, а высота та же $h$. Тогда объем отсеченной призмы:

Подставляем $V=84$:

Ответ: $21$.