Решите неравенства, используя метод интервалов а) (2x-6)(4+x)(1-x)>0 б) x^3 - 64x> 0

а) $(2x-6)(4+x)(1-x)>0$

1. Разложим и выделим множители

Число $2>0$, на знак не влияет, поэтому решаем:

2. Нули (критические точки)

Упорядочим: $-4,\ 1,\ 3$.

3. Метод интервалов (знаки на промежутках)
   Рассмотрим интервалы: $(-\infty,-4),\ (-4,1),\ (1,3),\ (3,\infty)$.

• Интервал $(-\infty,-4)$. Возьмём $x=-5$:

  $$(x-3)<0,\ (x+4)<0,\ (1-x)>0 \Rightarrow (-)\cdot(-)\cdot(+)=+$$

  Подходит.

• Интервал $(-4,1)$. Возьмём $x=0$:

  $$(x-3)<0,\ (x+4)>0,\ (1-x)>0 \Rightarrow (-)\cdot(+)\cdot(+)=-$$

  Не подходит.

• Интервал $(1,3)$. Возьмём $x=2$:

  $$(x-3)<0,\ (x+4)>0,\ (1-x)<0 \Rightarrow (-)\cdot(+)\cdot(-)=+$$

  Подходит.

• Интервал $(3,\infty)$. Возьмём $x=4$:

  $$(x-3)>0,\ (x+4)>0,\ (1-x)<0 \Rightarrow (+)\cdot(+)\cdot(-)=-$$

  Не подходит.

4. Учитываем строгое неравенство $>0$: точки $-4,1,3$ не включаем.

Ответ:

б) $x^3-64x>0$

1. Вынесем $x$

Решаем:

2. Нули

Упорядочим: $-8,\ 0,\ 8$.

3. Метод интервалов
   Интервалы: $(-\infty,-8),\ (-8,0),\ (0,8),\ (8,\infty)$.

• $(-\infty,-8)$, $x=-9$:

  $$x<0,\ (x-8)<0,\ (x+8)<0 \Rightarrow (-)\cdot(-)\cdot(-)=-$$

  Не подходит.

• $(-8,0)$