Метод интервалов 4х^2-х>0

Метод интервалов — это способ решения неравенств, который включает нахождение промежутков, на которых неравенство выполняется, и затем анализ этих промежутков.

Рассмотрим неравенство:

$4x^2 - x > 0$

1. Приведение к стандартному виду:
   Для начала перепишем неравенство:

   $4x^2 - x > 0$

   Теперь перенесём все элементы на одну сторону:

   $4x^2 - x = 0$

   Это уравнение имеет вид, который можно решить через факторизацию.

2. Решение уравнения:
   Разложим выражение на множители:

   $x(4x - 1) = 0$

   Это уравнение равно нулю, если $x = 0$ или $4x - 1 = 0$, что даёт $x = \frac{1}{4}$.

   Таким образом, у нас есть два корня: $x = 0$ и $x = \frac{1}{4}$.

3. Метод интервалов:
   Мы имеем два корня: $x = 0$ и $x = \frac{1}{4}$. Эти корни разделяют числовую прямую на три интервала:

   • $(-\infty, 0)$

   • $(0, \frac{1}{4})$

   • $(\frac{1}{4}, +\infty)$

   Теперь нам нужно проверить знак выражения $4x^2 - x$ на этих интервалах.

4. Анализ знаков на интервалах:
   Для каждого интервала подставляем тестовые значения и проверяем, больше ли выражение нуля:

   • Для интервала $(-\infty, 0)$ подставим $x = -1$:
     $4(-1)^2 - (-1) = 4 + 1 = 5$
     Это положительное значение, значит, на интервале $(-\infty, 0)$ выражение положительное.

   • Для интервала $(0, \frac{1}{4})$ подставим $x = \frac{1}{8}$:
     $4\left(\frac{1}{8}\right)^2 - \frac{1}{8} = 4 \times \frac{1}{64} - \frac{1}{8} = \frac{4}{64} - \frac{8}{64} = -\frac{4}{64} = -\frac{1}{16}$
     Это отрицательное значение, значит, на интервале $(0, \frac{1}{4})$ выражение отрицательное.

   • Для интервала $(\frac{1}{4}, +\infty)$ подставим $x = 1$:
     $4(1)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$
     Это положительное значение, значит, на интервале $(\frac{1}{4}, +\infty)$ выражение положительное.

5. Ответ:
   Мы ищем, на каких интервалах выражение $4x^2 - x$ больше нуля. Это происходит на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(\frac{1}{4}, +\infty)$.

   Таким образом, решение неравенства $4x^2 - x > 0$ — это объединение интервалов:

   $x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{1}{4}, +\infty)$