Для квадратичной функции y=-x²+5x-4: A) определите направление ветвей параболы; Б) найдите координаты вершины параболы; В) найдите нули функции; Г) найдите промежутки, в которых функция положительна.

Рассмотрим квадратичную функцию

A) Направление ветвей параболы

Коэффициент при $x^2$ равен $-1$. Он отрицательный, значит парабола открыта вниз (ветви направлены вниз).

Б) Координаты вершины параболы

Для функции $y=ax^2+bx+c$ абсцисса вершины:

Здесь $a=-1$, $b=5$. Тогда:

Найдём $y_0$, подставив $x_0=\frac{5}{2}$ в функцию:

Приведём к общему знаменателю 4:

Значит вершина:

В) Нули функции

Нули — это решения уравнения:

Умножим на $-1$, чтобы проще было решать:

Разложим на множители:

Отсюда:

Значит нули функции: $x_1=1$, $x_2=4$ (точки пересечения с осью $Ox$: $(1,0)$ и $(4,0)$).

Г) Промежутки, в которых функция положительна

Нужно найти, где:

Мы знаем, что парабола направлена вниз и пересекает ось $Ox$ в точках $x=1$ и $x=4$. Для параболы, направленной вниз, значения положительны между корнями.

Значит: