Все натуральные числа от 1 до 1000 включительно разбиты на две группы: чётные и нечётные. Пусть a — сумма сумм цифр чисел в первой группе, b — во второй. Найдите b−a.

Разобьём числа на пары вида
$(1,2), (3,4), \dots, (999,1000)$.
В каждой паре первое число нечётное, второе чётное, и второе на 1 больше первого.

Обозначим через $s(n)$ сумму цифр числа $n$. Тогда

потому что $b$ — сумма $s(n)$ по нечётным, а $a$ — сумма $s(n)$ по чётным, и мы их вычитаем попарно.

Как меняется сумма цифр при прибавлении 1

Если к числу $n$ прибавить 1, то обычно сумма цифр увеличивается на 1. Но если число оканчивается на одну или несколько девяток, происходит “перенос”:

• если $n$ оканчивается на одну 9, то последняя цифра 9 превращается в 0 (сумма цифр уменьшается на 9), а предыдущая увеличивается на 1 (сумма увеличивается на 1). Итого изменение: $+1-9$.

• если $n$ оканчивается на две 9 (…99), то две девятки превращаются в нули (минус 18), и снова где-то слева +1. Итого: $+1-18$.

• и так далее.

Пусть $t$ — количество подряд идущих девяток в конце числа $n$ (число “хвостовых 9”). Тогда

значит

Тогда

Осталось найти $\sum t(n)$ по нечётным $n=1,3,5,\dots,999$.

Сумма количеств хвостовых девяток

Удобно считать так:
$\sum t(n)$ равна количеству чисел с хотя бы одной хвостовой 9 плюс количеству чисел с хотя бы двумя хвостовыми 9 плюс количеству чисел с хотя бы тремя хвостовыми 9 и т.д.

Среди нечётных от 1 до 999:

• Хотя бы одна хвостовая 9: это числа, оканчивающиеся на 9:
  $9,19,29,\dots,999$. Их

  $$\frac{999-9}{10}+1=100.$$

• Хотя бы две хвостовые 9: числа, оканчивающиеся на 99:
  $99,199,299,\dots,999$. Их

  $$\frac{999-99}{100}+1=10.$$

• Хотя бы три хвостовые 9: только $999$. Это 1 число.

Больше трёх хвостовых девяток быть не может, так как максимум 999.

Значит

Подставляем

Ответ: $\boxed{499}$.