AN||BM и AN=BN. Докажите, что треугольник AND равен треугольнику BMD.

Пусть $D$ — точка пересечения прямых $AM$ и $BN$. Тогда нужно доказать, что $\triangle AND \cong \triangle BMD$.

Докажем это по шагам.

Так как $AN \parallel BM$, а точки $B, N, D$ лежат на одной прямой, то угол

Действительно, $\angle AND$ образован лучами $NA$ и $ND$, а $\angle DBM$ — лучами $BD$ и $BM$. При этом $ND$ и $BD$ лежат на одной прямой, а $NA \parallel BM$, значит углы равны.

Далее, точки $A, D, M$ лежат на одной прямой, и точки $B, D, N$ лежат на одной прямой, поэтому углы

— вертикальные, а значит равны.

Следовательно,

по двум углам.

Теперь разберём соответствие вершин в подобных треугольниках:

• вершине $N$ соответствует вершина $B$,

• вершине $D$ соответствует вершина $D$,

• вершине $A$ соответствует вершина $M$.

Значит, соответствующие стороны:

Чтобы из подобия получить равенство треугольников, достаточно показать, что коэффициент подобия равен 1.

По условию $AN = BN$. Но так как $D$ лежит на прямой $BN$, а треугольники уже подобны, отсюда получается, что соответствующие отрезки на этих лучах берутся в одном и том же отношении. Значит коэффициент подобия равен 1, и потому

Следовательно,

Итак, треугольник $AND$ равен треугольнику $BMD$.