Най­ди­те трёхзнач­ное на­ту­раль­ное число, боль­шее 400, ко­то­рое при де­ле­нии на 6 и на 5 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и пер­вая слева цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух дру­гих цифр. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

Рассмотрим решение этой задачи пошагово.

1. Пусть искомое число обозначим как $abc$, где $a$, $b$ и $c$ — его цифры. Тогда его значение можно записать как $100a + 10b + c$.

2. Так как число больше 400, $a$ — первая цифра — должна быть не меньше 4, то есть $a \geq 4$.

3. Условия задачи говорят, что число при делении на 6 и на 5 даёт одинаковый ненулевой остаток. Это означает, что число при делении на 30 (наименьшее общее кратное чисел 6 и 5) также будет иметь этот остаток. Обозначим его как $r$, где $1 \leq r \leq 4$ (потому что остаток должен быть ненулевым и меньше 5).

4. Значит, наше число имеет вид $100a + 10b + c = 30k + r$, где $k$ — некоторое целое число.

5. Дополнительно сказано, что первая цифра $a$ является средним арифметическим двух других цифр, то есть

   $$a = \frac{b + c}{2}.$$

   Отсюда следует, что $b + c = 2a$, и $b + c$ должно быть чётным числом.

Теперь начнём подбор подходящих значений.

Подбор чисел

Попробуем рассмотреть $r = 1$, так как оно удовлетворяет условиям задачи. Это означает, что число при делении на 30 должно иметь остаток 1.

Начнём проверку с чисел, кратных 30, и добавим остаток 1. При $k = 14$, число равно $30 \cdot 14 + 1 = 421$.

Рассмотрим число 421:

• Проверим делимость на 6 и 5. Остаток при делении на 6 и на 5 действительно равен 1.
• Первая цифра $a = 4$.
• Проверим, является ли $a$ средним арифметическим цифр $b$ и $c$: $b = 2$, $c = 1$, и $\frac{2 + 1}{2} = 1.5 \neq 4$, значит, 421 не подходит.

Пробуем следующее значение.

Для $k = 16$, число равно $30 \cdot 16 + 1 = 481$.

Рассмотрим число 481:

• Остаток при делении на 6 и на 5 также равен 1.
• Первая цифра $a = 4$.
• Проверяем условие на среднее арифметическое: $b = 8$, $c = 1$, и действительно, $\frac{8 + 1}{2} = 4$, что соответствует первой цифре $a = 4$.

Таким образом, число 481 удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: 481.