Имеются чашечные весы без гирь и 4 одинаковых монеты. Одна из монет фальшивая, причём неизвестно, легче она настоящих монет или тяжелее. За три взвешивания определите фальшивую монету и узнайте, тяжелее или легче она настоящей.

Решается это достаточно аккуратно, если продумать стратегию взвешиваний заранее.

Обозначим монеты как A, B, C и D.

Первое взвешивание:
Положим A против B.

• Если A = B, значит обе настоящие. Тогда фальшивая — либо C, либо D.

• Если A ≠ B, значит одна из них фальшивая, и уже есть подозреваемые.

Разберём оба случая.

Случай 1: A = B (весы в равновесии)

Значит A и B настоящие.

Второе взвешивание:
Сравним C с A (эталонной настоящей монетой).

• Если C = A → значит C настоящая, следовательно D — фальшивая.

• Если C ≠ A → значит C фальшивая.

Теперь осталось понять — легче или тяжелее.

Третье взвешивание:

• Если уже нашли, что C фальшивая: сравниваем C с A ещё раз (или используем результат второго взвешивания):

  • Если C тяжелее A → фальшивая тяжелее

  • Если легче → фальшивая легче

• Если фальшивая D: сравниваем D с A:

  • Аналогично определяем, тяжелее она или легче

Случай 2: A ≠ B

Значит одна из них фальшивая, но пока не знаем какая и в какую сторону отличается.

Второе взвешивание:
Сравним A с C.

Возможны три варианта:

1) A = C

Тогда A настоящая → значит B фальшивая.

Теперь из первого взвешивания:

• Если A > B → B легче

• Если A < B → B тяжелее

(потому что A настоящая, и отклонение вызвано B)

Третье взвешивание уже не нужно, но можно использовать для проверки.

2) A ≠ C

Теперь важно сравнить направления:

• Если A > B (из первого взвешивания)

• и A > C (из второго)

Тогда A тяжелее и B, и C → значит A фальшивая и она тяжелее.

• Если A < B

• и A < C

Тогда A легче → значит A фальшивая и она легче.

3) Результаты противоречат

Например:

• A > B

• но A < C

Это значит, что A настоящая (она ведёт себя по-разному),
следовательно фальшивая — B.

Теперь по первому взвешиванию:

• Если A > B → B легче

• Если A < B → B тяжелее

Итог

За три взвешивания (а на практике даже за два в большинстве веток) можно:

1. Найти фальшивую монету

2. Определить, легче она или тяжелее настоящих

Главная идея — как можно быстрее получить «эталонную» настоящую монету и дальше сравнивать с ней.