Дано: векторы a*b Найти: векторы |a| =8, |b| =8, (a,b)=π/3

Чтобы найти векторы $a$ и $b$, зная, что их длины равны 8 и угол между ними $\theta = \frac{\pi}{3}$ (или 60 градусов), можно воспользоваться некоторыми основами векторной алгебры.

1. Определение векторов: Векторы $a$ и $b$ можно выразить через их длины и угол между ними. Мы знаем, что:

   • Длина вектора $a$: $|a| = 8$
   • Длина вектора $b$: $|b| = 8$
   • Угол между векторами $a$ и $b$: $(a, b) = \frac{\pi}{3}$

2. Составление векторов: Для удобства, можем представить вектор $a$ в виде:

   $$a = |a| \cdot \begin{pmatrix} \cos(\alpha) \\ \sin(\alpha) \end{pmatrix} = 8 \begin{pmatrix} \cos(\alpha) \\ \sin(\alpha) \end{pmatrix}$$

   где $\alpha$ — это угол между вектором $a$ и осью абсцисс.

   Аналогично, вектор $b$ можно представить как:

   $$b = |b| \cdot \begin{pmatrix} \cos(\beta) \\ \sin(\beta) \end{pmatrix} = 8 \begin{pmatrix} \cos(\beta) \\ \sin(\beta) \end{pmatrix}$$

3. Угол между векторами: Угол между векторами $a$ и $b$ равен $\beta - \alpha = \frac{\pi}{3}$. Это значит, что:

   $$\beta = \alpha + \frac{\pi}{3}$$

4. Вычисление скалярного произведения: Скалярное произведение $a \cdot b$ можно выразить как:

   $$a \cdot b = |a| |b| \cos(\theta) = 8 \cdot 8 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 64 \cdot \frac{1}{2} = 32$$

5. Формула векторов: Подставив выражения для векторов, получаем:

   $$a \cdot b = \begin{pmatrix} 8 \cos(\alpha) \\ 8 \sin(\alpha) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8 \cos(\beta) \\ 8 \sin(\beta) \end{pmatrix} = 64 \left( \cos(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\alpha) \sin(\beta) \right)$$

   По формуле косинуса разности:

   $$a \cdot b = 64 \cos(\beta - \alpha) = 64 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 32$$

6. Параметры для векторов: Мы можем выбрать, например, $\alpha = 0$, тогда:

   • Вектор $a$:
   $$a = 8 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix}$$
   • Вектор $b$ будет:
   $$\beta = 0 + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$$ $$b = 8 \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \\ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \end{pmatrix} = 8 \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4\sqrt{3} \end{pmatrix}$$

Таким образом, два вектора, удовлетворяющие заданным условиям, могут быть:

• $a = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix}$