Найдите сумму корней уравнения $\lg(x+11) - \frac{1}{2}\lg(2x+7) = 2 - \lg25$.

Ответы на вопрос

Отвечает Маслов Витя.

Давайте разберёмся с этим уравнением шаг за шагом.

Уравнение:

\lg(x+11) - \frac{1}{2}\lg(2x+7) = 2 - \lg 25

Шаг 1: Используем свойства логарифмов

Напомним свойства:

Применяем их к нашему уравнению:

\lg(x+11) - \lg \sqrt{2x+7} = 2 - \lg 25

\lg\frac{x+11}{\sqrt{2x+7}} = 2 - \lg 25

Шаг 2: Преобразуем правую часть

Запомним, что $2 = \lg 100$ , так как $\lg 100 = 2$ .

2 - \lg 25 = \lg 100 - \lg 25 = \lg \frac{100}{25} = \lg 4

Теперь уравнение выглядит так:

\lg \frac{x+11}{\sqrt{2x+7}} = \lg 4

Шаг 3: Убираем логарифмы

Так как логарифм строго возрастающий, равенство под логарифмами даёт:

\frac{x+11}{\sqrt{2x+7}} = 4

Шаг 4: Решаем полученное уравнение

Умножим обе части на $\sqrt{2x+7}$ :

x+11 = 4\sqrt{2x+7}

Возводим обе части в квадрат:

(x+11)^2 = 16(2x+7)

Раскроем левую часть:

x^2 + 22x + 121 = 32x + 112

Приводим все к одной стороне:

x^2 + 22x + 121 - 32x - 112 = 0

x^2 - 10x + 9 = 0

Шаг 5: Находим корни квадратного уравнения

x^2 - 10x + 9 = 0

Используем формулу: $x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4\cdot1\cdot9}}{2}$

x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{10 \pm 8}{2}

Корни:

x_1 = \frac{10+8}{2} = 9, \quad x_2 = \frac{10-8}{2} = 1

Шаг 6: Проверяем область определения

$\lg(x+11)$ и $\lg(2x+7)$ требуют, чтобы аргументы были положительными:

Последние заданные вопросы в категории Математика

Найдите сумму корней уравнения \(\lg(x+11) - \frac{1}{2}\lg(2x+7) = 2 - \lg25\).