Помогите решить, только подробно 15^x - 9*5^x -3^x + 9 ≤ 0

Конечно! Давай разберём это неравенство пошагово. Оно выглядит так:

Шаг 1: Разложение на множители

Заметим, что $15^x = (3 \cdot 5)^x = 3^x \cdot 5^x$. Тогда неравенство переписывается как:

Теперь вынесем общие множители по частям:

1. В первой и второй частях: $3^x \cdot 5^x - 9 \cdot 5^x = 5^x (3^x - 9)$

2. В третьей и четвертой частях: $-3^x + 9 = -(3^x - 9)$

Тогда получаем:

Вынесем $(3^x - 9)$ за скобки:

Шаг 2: Замена переменных

Для удобства можно заменить:

Тогда неравенство принимает вид:

Это стандартное неравенство произведения. Напомним, что для произведения двух выражений $P \cdot Q \le 0$ выполняется, когда одно из выражений неотрицательно, а другое неположительно:

Шаг 3: Определяем критические точки

Критические точки:

Теперь у нас есть две точки: $x = 0$ и $x = 2$.

Шаг 4: Определяем знаки на интервалах

Разобьём ось на интервалы: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$, $(2, +\infty)$

1. Интервал $x < 0$

   • $3^x - 9 < 0$ (так как $3^x < 1 < 9$)

   • $5^x - 1 < 0$ (так как $5^x < 1$)

   • Произведение: $(-) \cdot (-) = +$, не удовлетворяет $\le 0$

2. Интервал $0 < x < 2$

   • $3^x - 9 < 0$ (так как $3^x < 9$)

   • $5^x - 1 > 0$ (так как $5^x > 1$)

   • Произведение: $(-)\cdot(+) = -$, удовлетворяет $\le 0$

3. Интервал $x > 2$

   • $3^x - 9 > 0$

   • $5^x - 1 > 0$