Сумма первых трех членов возрастающей геометрической прогрессии равна 7, а их произведение равно 8. Найдите пятый член этой прогрессии.

Пусть первые три члена геометрической прогрессии имеют вид:

Так удобно записывать три последовательных члена, потому что их средний член равен $a$, а знаменатель прогрессии равен $q$.

По условию их произведение равно 8:

Значит,

Отсюда:

То есть второй член прогрессии равен 2.

Теперь используем условие про сумму первых трех членов:

Разделим на 2:

Умножим на $2q$:

Решим квадратное уравнение:

Получаем:

или

Но прогрессия по условию возрастающая. Первые три члена имеют вид:

Если $q = 2$, то члены:

Это возрастающая прогрессия.

Если $q = \frac{1}{2}$, то члены:

Это убывающая прогрессия, поэтому этот вариант не подходит.

Значит, первый член равен 1, знаменатель прогрессии равен 2. Тогда пятый член:

Ответ: