Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 21, а сумма их квадратов равна 189.

Ответы на вопрос

Отвечает Талатынник Светлана.

Давайте решим задачу пошагово, как это сделал бы я, если бы писал подробный ответ на сайте с вопросами и ответами.

Дано:

a + ar + ar^2 = 21

a^2 + (ar)^2 + (ar^2)^2 = 189

Найти: $a$ и $r$ .

a(1 + r + r^2) = 21

Следовательно,

a = \frac{21}{1 + r + r^2}

a^2 + (ar)^2 + (ar^2)^2 = a^2 (1 + r^2 + r^4) = 189

Подставляем $a^2 = \frac{441}{(1+r+r^2)^2}$ , так как $a = \frac{21}{1+r+r^2}$ :

\frac{441}{(1+r+r^2)^2} (1 + r^2 + r^4) = 189

Сократим на 21:

\frac{21 \cdot (1 + r^2 + r^4)}{(1+r+r^2)^2} = 9

Умножаем обе стороны на $(1 + r + r^2)^2$ :

21 (1 + r^2 + r^4) = 9 (1 + r + r^2)^2

Делим обе стороны на 3:

7 (1 + r^2 + r^4) = 3 (1 + r + r^2)^2

(1 + r + r^2)^2 = 1 + 2r + 3r^2 + 2r^3 + r^4

Умножаем на 3:

3(1 + r + r^2)^2 = 3 + 6r + 9r^2 + 6r^3 + 3r^4

Слева: $7(1 + r^2 + r^4) = 7 + 7r^2 + 7r^4$

Приводим уравнение:

7 + 7r^2 + 7r^4 = 3 + 6r + 9r^2 + 6r^3 + 3r^4

Переносим все в одну сторону:

7 - 3 + 7r^2 - 9r^2 + 7r^4 - 3r^4 - 6r - 6r^3 = 0

Последние заданные вопросы в категории Математика

Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 21, а сумма их квадратов равна 189. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.