В озеро впадают две реки. Катер отплывает от пристани А, находящейся на первой реке, плывёт 24 км до озера, далее плывёт 2 ч по озеру и затем 32 км по второй реке до пристани В, затратив 8 ч на весь путь от А до В. Если бы катер проплыл по озеру ещё дополнительно 18 км, то на весь путь от А до В он затратил бы 10 ч. Найдите скорость течения каждой реки, если известно, что скорость течения первой реки на 2 км/ч больше скорости течения второй реки.

Обозначим собственную скорость катера \( v \) км/ч, скорость течения первой реки \( u_1 \) км/ч, второй — \( u_2 \) км/ч. По условию \( u_1 = u_2 + 2 \).

Путь от А до озера (24 км) катер проходит по течению первой реки, поэтому скорость \( v + u_1 \), время \( \frac{24}{v+u_1} \).

По озеру (стоячая вода) катер идёт 2 ч со скоростью \( v \), проходит \( 2v \) км.

Путь по второй реке (32 км) — против течения (так как река впадает в озеро), скорость \( v - u_2 \), время \( \frac{32}{v-u_2} \).

Общее время 8 ч: \[ \frac{24}{v+u_1} + 2 + \frac{32}{v-u_2} = 8 \] или \[ \frac{24}{v+u_1} + \frac{32}{v-u_2} = 6. \quad (1) \]

Если бы катер прошёл по озеру дополнительно 18 км, то время на озере составило бы \( \frac{2v+18}{v} = 2 + \frac{18}{v} \), и общее время стало бы 10 ч: \[ \frac{24}{v+u_1} + 2 + \frac{18}{v} + \frac{32}{v-u_2} = 10 \] \[ \frac{24}{v+u_1} + \frac{32}{v-u_2} + \frac{18}{v} = 8. \quad (2) \]

Вычтем (1) из (2): \( \frac{18}{v} = 2 \), откуда \( v = 9 \) км/ч.

Подставим \( v = 9 \) и \( u_1 = u_2+2 \) в (1): \[ \frac{24}{9+u_2+2} + \frac{32}{9-u_2} = 6 \] \[ \frac{24}{11+u_2} + \frac{32}{9-u_2} = 6. \]

Умножим на \( (11+u_2)(9-u_2) \): \[ 24(9-u_2) + 32(11+u_2) = 6(11+u_2)(9-u_2) \] \[ 216 - 24u_2 + 352 + 32u_2 = 6(99 - 2u_2 - u_2^2) \] \[ 568 + 8u_2 = 594 - 12u_2 - 6u_2^2. \]

Приведём к квадратному уравнению: \[ 6u_2^2 + 20u_2 - 26 = 0 \] \[ 3u_2^2 + 10u_2 - 13 = 0. \]

Дискриминант \( D = 100 + 156 = 256 \), \( \sqrt{D}=16 \). Корни: \( u_2 = \frac{-10 \pm 16}{6} \). Положительный корень \( u_2 = 1 \) км/ч. Тогда \( u_1 = 3 \) км/ч.

Ответ: скорость течения первой реки 3 км/ч, второй — 1 км/ч.

0 0 Пожаловаться